Aufgabe
Der Goldene Quader heißt nicht so, weil er aus Gold gemacht ist, sondern weil sich seine Abmessungen zueinander nach der Gesetzmäßigkeit des Goldenen Schnittes verhalten:
Höhe/Breite = Breite/Länge = Verhältnis der kleineren zur größeren Teilstrecke einer nach dem Gesetz des Goldenen Schnittes geteilten Gesamtstrecke.
Die Berechnung seiner geometrischen Größen (bei einer Breite = 1)
1) Volumen
2) Oberflöche
3) Raumdiagonale von vorne, unten, links nach hinten, oben, rechts
4) Verhältnis der Oberflöche des Goldenen Quaders zur Oberflöche der umgebenden Kugel, die alle seine Ecken berührt.
Lösung
Die verblüffenden Lösungen beruhen auf verblüffenden Eigenschaften der Zahl Phi, die das Verhältnis der größeren zur kleineren Teilstrecke einer im Goldenen Schnitt geteilten Gesamtstrecke angibt:
Phi = (WURZEL(5)+1)/2.
Das interessante an der Zahl Phi ist, dass ihr Kehrwert 1/Phi genau um 1 kleiner ist als sie selbst:
1) Volumen = 1
2) Oberflöche = 4 * Phi
3) Raumdiagonale = 2
4) Oberflöchenverhältnis Goldener Quader zu umgebender Kugel = Phi / Kreiszahl Pi.
Wenn man die Diagonale kennt, dann kennt man den Radius der umgebenden Kugel. Er ist die halbe Raumdiagonale, weil jede der acht Ecken von der Mitte des Goldenen Quaders gleich weit entfernt ist. Eine Kugel mit dem Radius 1 hat eine Oberflöche von 4 * Pi und somit wird das Oberflöchenverhältnis Phi/Pi, eine ungewähnlich einfache Beziehung zwischen Phi und Pi.
Diese vier Lösungen erhält man auch ohne Große Algebrakenntnisse, wenn man folgende Formeln in Excel eingibt
Einmal Phi ausgerechnet:
A1: =(WURZEL(5)+1)/2
1) Volumen
=A1*1*1/A1
2) Oberflöche
=2*A1*1+2*A1*1/A1+2*1*1/A1
und =2*A1*1+2*A1*1/A1+2*1*1/A1=4*A1 'beweist', dass die Oberflöche = 4*Phi ist.
3) Raumdiagonale
Diagonale = Wurzel aus der Summe der Quadrate von Länge, Breite und Höhe
=WURZEL(A1^2+1^2+(1/A1)^2)
4) Oberflöchenverhältnis
eine Kombination der Formeln für die Kugeloberflöche 4 * r^2 * Pi, Diagonale und Quaderoberflöche wird mit dem Verhältnis Phi zu Pi verglichen:
