Mathematische Funktionen (7) -> Nullstellen von Polynomen mit IKV-Funktion berechnen (291) |
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Lösung
In D1:D7 stehen die Polynom-Koeffizienten einer Gleichung 6.Grades, beginnend mit der kleinsten Potenz.
Die Funktion im Beispiel lautet also
y=0,2667x^6-6,4x^5+60,67x^4-288x^3+713,1x^2-857,6x+380
Schreibe in E1 =-1^(-1+ANZAHL(D$1:D1))*D1
und kopiere die Formel bis E7. Dies ist die Funktions-Negierung (Spiegelung auf der Y-Achse)*)
In A1:A30 steht ein X-Werte-Bereich
Da die Nullstellen im Bereich von 1 bis 7 liegen, schreibe in A1:=1, in A30:=7 in A2 steht =($A$30-$A$1)/29+A1, dies kopierst Du bis A29
In B1:B30 stehen die Y-Werte mit =NBW(1/(A1)-1;D$1:D$7)/A1
oder alternativ das Polynom 6. Ordnung (s.o.)
Erzeuge ein Punkt(xy)-Diagramm basierend auf Spalte A:B.
Spalte A und B sind zur weiteren Berechnung nicht nötig, sie dienen nur zum grafischen Nachweis.
Gebe in H1 einen Schätzwert der ungeführen Nullstellenposition ein (Im Beispiel 3)
In H2 steht die Nullstelle
=WENN(H1<0;-1/(1+IKV(E1:E7;1/(-H1)-1));1/(1+IKV(D1:D7;1/H1-1)))
Siehe dazu auch Tip und Download Nr. 40
Erläuterung
Was haben die Finanzmathematischen Funktionen
NBW bzw. IKV mit Polynomen zu tun?
Eine Zahlungsreihe der FI-Math. übern-Perioden ist eigentlich nichts anderes als ein Polynom n-ter Ordnung
Du hast n Zahlungen a,b,c,d,e,...,n in n Perioden.
Willst Du den Barwert ausrechnen, musst Du jede Zahlung mit dem Faktor
1/(1+zinssatz) multiplizieren(abzinsen) und zwar a 1mal b 2mal und so weiter:
NBW = a*1/(1+zinssatz)^1+b*1/(1+zinssatz)^2+c*1/(1+zinssatz)^3+d*1/(1+zinssatz)^4+e*1/(1+zinssatz)^5+...+n*1/(1+zinssatz)^n
Genau so macht das die Excel-Funktion NBW.
siehe dazu auch die Formel Nr.266
Setzt Du nun 1/(1+zinssatz)=x
ergibt sich
NBW=a*x+b*x^2+c*x^3+d*x^4+e*x^5+...+n*x^n
teilt man die Gleichung durch x ergibt sich
NBW/x=a+b*x+c*x^2+d*x^3+e*x^4+...+n*x^(n-1)
und bei NBW/x = y.
ergibt sich das Polynom in allgemeiner Form
y = a+b*x+c*x^2+d*x^3+e*x^4+...+n*x^(n-1)
In das erste Argument von NBW gibt man den Zinssatz ein. Nirgendwo ist aber vorgeschrieben, dass er zwischen 0% und 100% liegt.
Die Formel funktioniert nämlich für alle Werte.
Löst man nun 1/(1+zinssatz)=x nach zinssatz (i) auf ergibt sich:
i=1/x-1
Will man nun den Y-Wert für x=-15 ausrechnen, gibt man als Zinssatz
1/x-1=-106,666667%
das macht natürlich finanzmathematisch keinen Sinn, funktioniert aber trotzdem.
So, IKV macht nichts anderes, als NBW=0 zu setzen und die Gleichung nach x aufzulösen, genauer gesagt nach i, also 1/x-1.
IKV verwendet dazu höchstwahrscheinlich das Newton'sche Näherungsverfahren.
Jetzt muss man nur den richtigen Schätzwert eingeben und bekommt alle positiven i Werte. Die muss man dann nur noch nach x auflösen.
*)IKV kann nur positive Nullpunkte ermitteln.
Wenn also eine Funktion einen negativen Schnittpunkt hat, muss man die Funktion erst auf der Y-Achse spiegeln und den nun postiven Nullpunkt ermittelten und dann mit -1 multiplizieren.
Beispiel:
Gegeben sei die Quadratische Gleichung(siehe Nr.157) y =3x^2 + 7x -26 mit den Lösungen X1=2; X2 = -4,333
IKV kann nur die 2 ermitteln.
Wie kann man nun trotzdem die -4,333 finden?
Ganz einfach, wenn ich die Funktion auf der Y-Achse spiegele, muss die alte Nullstelle -4,333 nun bei +4,333 liegen.
Wie spiegelt man eine Funktion auf der Y-Achse? In dem man alle ungeraden Potenzen mit -1 multipliziert.
Die Spiegelfunktion lautet also y=3x^2 - 7x -26.
Nun läßt sich mit unserer Nr. 157 leicht beweisen, dass das Ergebnis X1=4,333; X2=-2 lautet.
Nun muss man X1 mit -1 multiplizieren und hat die negative Nullstelle der Ursprungsfunktion gefunden.